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    「初中数学」《平行垂直》中不可忽略的知识点

    2021-01-26 青岛版初中数学 15 ℃ 0 评论
    原文标题:「初中数学」《平行垂直》中不可忽略的知识点
    本文摘要:《平行垂直》中你不可忽略的知识点一、知识梳理1、平行线的定义:在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线.2、平行的表示:用符号“∥”表示,读作“平行于” .3、同一平面内两条直线的位置关系:平行或相交.4、平行公理:经过直线外一点,有且只有一... ...
    本文关键词:青岛版初中数学垂直知识点,青岛版初中数学九年级下册青岛版小六升初中数学试题
    正文:


    《平行垂直》中你不可忽略的知识点


    一、知识梳理


    1、平行线的定义:


    在同一平面内不相交的两条直线叫做平行线.


    2、平行的表示:


    用符号“∥”表示,读作“平行于” .


    3、同一平面内两条直线的位置关系:


    平行或相交.


    4、平行公理:


    经过直线外一点,有且只有一条直线与已知直线平行.


    5、平行的传递性:


    平行于同一直线的两直线平行.


    6、平行与角的联系:


    若一个角的两边与另一个角的两边分别平行,则这两个角相等或互补.


    7、垂直定义:


    如果两条直线相交所成的四个角中有一个角是直角,那么这两条直线互相垂直.


    其中一条直线叫做另一条直线的垂线.它们的交点叫做垂足.


    两条线段、射线垂直是指这两条线段、射线所在的直线垂直.


    8、垂直的表示:


    用符号“⊥”表示,读作“垂直于” .


    9、垂直公理:


    过一点有且只有一条直线与已知直线垂直.


    10、点到直线的距离:


    直线外一点到这条直线的垂线段的长度.


    11、垂线段的性质:


    直线外一点与直线上各点连接的所有线段中,垂线段最短.


    12、垂直与角的联系:


    若一个角的两边与另一个角的两边分别垂直,则这两个角相等或互补.





    二、典型例题


    例1、概念辨析


    (1)两条不相交的直线叫做平行线.


    (2)两条直线不相交就平行.


    (3)两条射线或线段平行,是指它们所在的直线平行.


    (4)在同一平面内不相交的两条线段必平行.


    (5)经过一点,有且只有一条直线与已知直线平行.


    (6)同一平面内垂直于同一直线的两条直线互相平行.


    (7) 点A为直线l外一点,点B在直线l上,若AB=5厘米,则点A到直线l的距离为5cm.


    解析:


    (1)错误,必须加同一平面内,否则在立体几何中,会出现异面的情况.比如一个正方体,上面和前面相交的棱与右面和后面相交的棱,所在直线就是既不平行也不相交.


    (2)错误,理由同(1).


    (3)正确.


    (4)错误,反例如下图:





    (5)错误,必须在直线外,否则,如果这个点在直线上,所作直线就与已知直线重合.


    (6)正确.


    (7)错误,如下图,当点B在B2处,点A到直线l的距离为5cm,当点B在B1,点A到直线l的距离小于5cm.





    二、典型例题


    例2、


    试画图说明平面内三条直线的位置关系.


    分析:


    我们知道,同一平面内的两条直线有相交、平行两种关系.那么到了三条直线,就会出现三条都平行,两条平行,都不平行的情况.在三条都平行的情况外,必然有相交的情况,我们可以从交点数来考虑,即有一个,有两个,有三个交点三种.


    解答:





    二、典型例题


    例3、


    (1)如图,P是∠AOB外一点,过点P画直线PC∥OA,交OB于点C,过点P画直线PD∥OB,交OA反向延长线于点D,量出∠AOB、∠CPD的度数,你有什么发现?


    点P如果在∠AOB内部呢?





    (2)如图,P是∠AOB外一点,过点P画直线PC⊥OA,交OA于点C,过点P画直线PD⊥OB,交OB于点D,量出∠AOB、∠CPD的度数,你有什么发现?


    点P如果在∠AOB内部呢?


    分析:


    本题不难,主要是根据要求作图,然后发现度数之间的联系,不是相等就是互补,最后,再关注所研究的两个角的位置关系,发现其中一个角的两边与另一个角的两边分别平行,从而得出最后结论.


    解答:


    (1)


    当P是∠AOB外一点,∠AOB+∠CPD=180°


    当P是∠AOB内一点,∠AOB=∠CPD


    发现:若一个角的两边与另一个角的两边分别平行,则这两个角相等或互补.





    (2)


    当P是∠AOB外一点,∠AOB=∠CPD


    当P是∠AOB内一点,∠AOB+∠CPD=180°


    发现:若一个角的两边与另一个角的两边分别垂直,则这两个角相等或互补.








    三、思维提升


    例1、网格作图


    (1)利用图(1)中的网格,利用直尺过P点画直线AB的平行线和垂线.


    (2)把图(2)网格中的三条线段通过平移使三条线段AB、CD、EF首尾顺次相接组成一个三角形.


    (3)如果每个方格的边长是单位1,那么图(2)中组成的三角形的面积等于______.





    分析:


    网格作图是今后的重点内容,我们应该引起足够的重视,


    (1)对于作平行,有2种作法,第一种观察线段AB是横2竖4的长方形对角线,那么,过要画的点P,也应该是构造横2竖4的长方形对角线.第二种,采用平移的方法,从点A平移到点P,需要向右4格再向下1格,那么点B也要同样平移,然后将线段两端延长,变成直线.


    对于作垂直,则和平行相反,过点P需要构造横4竖2的长方形对角线.


    (2)我们可以保持EF不动,将AB,CD平移,注意,有2种情况.


    (3)对于网格图形的面积,我们通常可以采用割补法,割,把大图形分成几个小图形,计算面积和,补,把大图形再补成一个更大的,可直接计算面积的图形,减去周围几个小图形的面积和.本题适合用补的方法.


    解答:








    三、思维提升


    例2、垂线段再认识


    如图,在6×6的正方形网格中,点P是∠AOB的边OB上的一点.过点P画OB的垂线,交OA于点C;过点P画OA的垂线,垂足为H;


    (1)请找出图中所有的垂线段,并说明这条垂线段的长度是哪个点到哪条直线的距离.


    (2)线段PC、PH、OC这三条线段大小关系是______.(用“<”号连接)









    分析:


    要找垂线段,首先要找出所有的垂足,因为垂线段是直线外一点到垂足的距离.这里的垂足显然只有P,H,那么点O,点C,可以和点P,点H组成垂线段.


    要说明垂线段长度是哪个点到哪一条直线的距离,那么必然选择的是垂线段的两个端点中,不是垂足的那个点,到垂足所在的另外一条与垂线段垂直的直线的距离.


    解答:


    (1)OP,OP的长度是点O到直线PC的距离.


    CP,CP的长度是点C到直线OB的距离.


    OH,OH的长度是点O到直线PH的距离.


    CH,CH的长度是点C到直线PH的距离.


    PH,PH的长度是点P到直线OC的距离.


    (2)PH<PC<OC.


    三、思维提升


    例3、思考类作图


    同一平面内已知线段AB长为10cm,点A、B到直线l的距离分别为6cm和4cm,符合条件的直线l有_______条?


    分析:


    显然,同学们都能想到作线段AB的垂线,将线段AB分成6cm,4cm两部分.但其实,在线段AB的两侧还有两条,分别以A、B为圆心、6cm和4cm为半径作圆,当所画的直线与两个圆分别都只有一个交点时,也符合题意,这样的直线有两条,即共有3条.


    到了初三,我们会知道,这三条线就是所画的两个圆的切线.


    解答:





    如图,三条红色的直线即为所求.


    变式


    如图,在平面内,两条直线l1,l2相交于点O,对于平面内任意一点M,若p,q分别是点M到直线l1,l2的距离,则称(p,q)为点M的“距离坐标”.根据上述规定,“距离坐标”是(2,1)的点共有________个.





    分析:


    我们可以先找线,再确定点,先找出到l1距离为2的直线,到12距离为1的直线,显然,它们的交点,就满足题意.


    画图后,不难发现到l1距离为2的直线有2条,到12距离为1的直线有2条,这4条直线两两相交,有4个交点,这4个交点就是"距离坐标"是(2,1)的点.


    解答:





    如图,到l1距离为2的直线是2条蓝色直线,到12距离为1的直线是2条红色直线,四个交点即为所求.




    本文作者:子宁学习,转载本文请注明作者出处~

    标签:青岛版初中数学垂直知识点

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